Exercício 3
Um homem lança seu bote em um ponto \(A\) na margem de um rio reto, com largura de \(3\,\mathrm{km}\), e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto \(B\) na outra margem, \(8\,\mathrm{km}\) rio abaixo. Ele pode remar até um ponto \(D\) entre \(C\) e \(B\) e então andar até \(B\). Se ele pode remar a \(6\,\mathrm{km/h}\) e andar a \(8\,\mathrm{km/h}\), onde ele deveria aportar para atingir \(B\) no menor tempo?
Solução
Seja \(x=|CD|\), a distância entre \(C\) e o ponto de chegada \(D\). Então \(0\le x\le 8\) e a distância que ele caminhará é \(8-x\).
Pelo Teorema de Pitágoras, a distância remada é
\[ |AD|=\sqrt{x^2+3^2}=\sqrt{x^2+9}. \]
Assim, o tempo total é
\[ \colorbox{green!20}{\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}, \qquad 0\le x\le 8. } \]
Derivando,
\[ T'(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}. \]
Os pontos críticos satisfazem
\[ T'(x)=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}=\frac{1}{8}. \]
Portanto,
\[ 8x=6\sqrt{x^2+9} \qquad\Longleftrightarrow\qquad 16x^2=9(x^2+9) \qquad\Longleftrightarrow\qquad 7x^2=81. \]
Como \(x\ge 0\), obtemos
\[ \colorbox{green!20}{\displaystyle x=\frac{9}{\sqrt{7}}}. \]
Comparando este ponto crítico com as extremidades do intervalo \([0,8]\), este é o ponto que fornece o menor tempo total.
Portanto, ele deve aportar no ponto \(D\), a uma distância
\[ \colorbox{green!20}{\displaystyle |CD|=\frac{9}{\sqrt{7}}\,\mathrm{km}} \]
abaixo do ponto \(C\), e depois caminhar até \(B\).