Um ponto da parábola pode ser escrito como \(Q=(x,y)\), com \(y^2=2x\). Portanto,

\[ x=\frac{y^2}{2}. \]

A distância entre \(Q\) e \(P=(1,4)\) é

\[ d=\sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2}. \]

Como minimizar \(d\) é equivalente a minimizar \(d^2\), definimos

\[ \colorbox{green!20}{\displaystyle F(y)=d^2 = \left(\frac{y^2}{2}-1\right)^2+(y-4)^2. } \]

Derivando,

\[ F'(y) = 2\left(\frac{y^2}{2}-1\right)y+2(y-4) = y^3-8. \]

O único ponto crítico satisfaz

\[ y^3-8=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad y=2. \]

Além disso, \(F'(y)\lt 0\) para \(y\lt 2\) e \(F'(y)\gt 0\) para \(y\gt 2\). Logo \(y=2\) fornece o mínimo absoluto. Como \(x=y^2/2\), temos \(x=2\).

Portanto, o ponto procurado é $\colorbox{green!20}{\displaystyle (2,2)}.$