Como a lata é fechada, a área total do metal é a soma das áreas das duas bases com a área lateral:

\[ A=2\pi r^2+2\pi rh. \]

O volume é \(1\) litro, isto é, \(1000\,\mathrm{cm}^3\). Portanto,

\[ \pi r^2h=1000 \qquad\Longrightarrow\qquad h=\frac{1000}{\pi r^2}. \]

Substituindo esta relação na área, obtemos uma função apenas de \(r\):

\[ \colorbox{green!20}{\displaystyle A(r)=2\pi r^2+\frac{2000}{r}, \qquad r>0.} \]

Procuramos os pontos críticos:

\[ A'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}. \]

Assim,

\[ A'(r)=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad 4\pi r^3=2000 \qquad\Longleftrightarrow\qquad r^3=\frac{500}{\pi}. \]

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\[ \colorbox{green!20}{\displaystyle r_0=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}}. \]

Como \(A'(r)\lt 0\) para \(0\lt r\lt r_0\) e \(A'(r)\gt 0\) para \(r\gt r_0\), a função área decresce antes de \(r_0\) e cresce depois de \(r_0\). Portanto, \(r_0\) fornece um mínimo absoluto da área.

Finalmente,

\[ h=\frac{1000}{\pi r_0^2} = 2r_0. \]

Portanto, as dimensões que minimizam o custo do metal são

\[ \colorbox{green!20}{\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\,\mathrm{cm} \qquad\textrm{e}\qquad h=2\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\,\mathrm{cm}}. \]