Funções de duas variáveis - Matemática/UFES

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Funções, gráficos e curvas de nível

Uma função de duas variáveis associa a cada ponto $(x,y)$ de um domínio $D\subset\mathbb R^2$ um único número real $z=f(x,y)$. Seu gráfico é uma superfície no espaço:

$$G_f=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:z=f(x,y),\ (x,y)\in D\}.$$

Para $f(x,y)=x^2+y^2$, as curvas de nível são os círculos $x^2+y^2=k$, com $k\ge0$.

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Limites e continuidade

Escrevemos $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$ quando os valores de $f(x,y)$ se aproximam de $L$ sempre que $(x,y)$ se aproxima de $(a,b)$, qualquer que seja o caminho seguido no plano. A função é contínua em $(a,b)$ quando

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b).$$

Polinômios são contínuos em todo ponto. Quocientes de funções contínuas são contínuos onde o denominador não se anula; raízes e composições obedecem às restrições usuais de seus domínios.

Encontrar dois caminhos com limites diferentes prova que o limite não existe. Caminhos com o mesmo resultado, sozinhos, não provam que o limite existe.

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Derivadas parciais

Para medir a variação em uma direção coordenada, mantemos a outra variável fixa. As derivadas parciais em $(a,b)$ são

$$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$

$$f_y(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.$$

$f_x(a,b)$ é a inclinação da curva obtida ao fixar $y=b$; $f_y(a,b)$ é a inclinação da curva obtida ao fixar $x=a$.

Derivando novamente aparecem $f_{xx}$, $f_{yy}$ e as derivadas mistas $f_{xy}$ e $f_{yx}$. Se as derivadas mistas forem contínuas em uma vizinhança, então $f_{xy}=f_{yx}$.

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Plano tangente e aproximação linear

Perto de um ponto onde $f$ é diferenciável, a superfície se parece com um plano. O plano tangente em $P=(a,b,f(a,b))$ é

$$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).$$

A expressão do lado direito é a linearização $L(x,y)$. Assim, $f(x,y)\approx L(x,y)$ quando $(x,y)$ está próximo de $(a,b)$, e o diferencial fornece

$$\Delta z\approx dz=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy.$$

O plano tangente reúne, no mesmo objeto, as duas inclinações parciais da superfície.

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Regra da cadeia

Se $z=f(x,y)$ e as coordenadas dependem de $t$, então $z$ varia por causa das duas dependências:

$$\frac{dz}{dt}=f_x(x,y)\frac{dx}{dt}+f_y(x,y)\frac{dy}{dt} =\nabla f(x,y)\cdot\mathbf r'(t).$$

Se $x=x(s,t)$ e $y=y(s,t)$, aplicamos a mesma regra separadamente a cada parâmetro:

$$z_s=f_xx_s+f_yy_s$$

$$z_t=f_xx_t+f_yy_t.$$

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Gradiente e derivada direcional

O vetor gradiente reúne as derivadas parciais:

$$\nabla f(x,y)=\langle f_x(x,y),f_y(x,y)\rangle$$

$$D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u,qquad\|\mathbf u\|=1.$$

O gradiente aponta na direção de crescimento mais rápido; sua norma é a maior taxa de crescimento. Ele é perpendicular à curva de nível que passa pelo ponto.

A derivada direcional é a projeção do gradiente sobre a direção unitária escolhida.

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Valores máximos, mínimos e otimização

Em um extremo local interior onde $f$ é diferenciável, normalmente $f_x=f_y=0$. Esses pontos, junto com os pontos onde alguma derivada não existe, são os candidatos a pontos críticos. Para classificá-los, usamos

$$D(a,b)=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-[f_{xy}(a,b)]^2.$$

$D>0$, $f_{xx}>0$: mínimo local.

$D>0$, $f_{xx}<0$: máximo local.

$D<0$: ponto de sela.

$D=0$: o teste é inconclusivo.

Em regiões fechadas e limitadas, compare também os valores na fronteira para encontrar máximos e mínimos absolutos.

Roteiro para problemas aplicados

Escolha as variáveis e escreva a grandeza a otimizar.
Use as restrições para determinar o domínio viável.
Encontre pontos críticos no interior.
Analise a fronteira e compare todos os valores candidatos.
Interprete o resultado com as unidades do problema.

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Exemplos para praticar

Derivadas, aproximações e gradiente

Para f(x,y)=x²eʸ, calcule fₓ(1,0) e fᵧ(1,0).
Resposta breve
Temos fₓ=2xeʸ e fᵧ=x²eʸ. Avaliando em (1,0), obtemos fₓ(1,0)=2 e fᵧ(1,0)=1.
Ache o plano tangente a z=x²+xy no ponto correspondente a (1,2).
Resposta breve
f(1,2)=3, fₓ=2x+y e fᵧ=x. Assim, z=3+4(x-1)+(y-2).
Calcule a derivada de f(x,y)=xy na direção de v=(3,4), no ponto (2,1).
Resposta breve
A direção unitária é u=(3/5,4/5) e ∇f(2,1)=(1,2). Logo, Dᵤf=3/5+8/5=11/5.
Se z=x²+y², x=t² e y=1-t, calcule dz/dt em t=1.
Resposta breve
dz/dt=2x(2t)+2y(-1). Em t=1, x=1 e y=0; portanto dz/dt=4.

Extremos e problemas de otimização

Classifique o ponto crítico da função f(x,y)=x²-y².
Resposta breve
O único ponto crítico é (0,0). Como D=(2)(-2)-0=-4<0, ele é um ponto de sela.
Encontre o ponto do plano que minimiza f(x,y)=(x-3)²+(y+1)².
Resposta breve
A função é uma soma de quadrados. Seu mínimo é 0 e ocorre em (3,-1).
Determine os extremos de f(x,y)=xy no retângulo 0≤x≤2, 0≤y≤3.
Resposta breve
No interior não há ponto crítico. Nas quatro bordas, 0≤xy≤6. O mínimo é 0 nos eixos e o máximo é 6 em (2,3).
Um retângulo tem perímetro 20. Quais dimensões maximizam sua área?
Resposta breve
Com x+y=10, a área é A=xy=x(10-x). O máximo ocorre em x=5 e y=5; o retângulo ótimo é um quadrado.